Las permutaciones

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Hay 4 candidatos, Samuel, Ignacio, Héctor y Vilma, postulados para el mismo puesto. Para que la posición de los nombres en las boletas de votación NO influya en los votantes, es necesario imprimir boletas con los nombres en todos los órdenes posibles. ¿Cuántas boletas diferentes habrá?

Estudiando para mi examen de la universidad me encontré con este tema que es muy odioso para mí (en mi opinión) ya que es algo complicado así que intentaremos explicar con toda la claridad posible este asunto.

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Para empezar… ¿Qué son las permutaciones?

Simplemente es un ordenamiento de n elementos, pero para explicar mejor esto, veremos 2 principios muy importantes para la resolución de estos problemas:

Principio de suma:

Este principio dice cuándo sumar para calcular el número total de posibilidades, este principio dice que se debe de sumar el número de elementos en cada subconjunto cuando es posible descomponer los elementos que se cuentan en subconjuntos ajenos. En resumen, si se tienen conjuntos ajenos de objetos y se desea saber el número total de objetos se utilizará este principio.

Para poder explicar un ejemplo veremos antes el principio de la multiplicación:

Principio de la multiplicación:

Afirma que, cuando una actividad se construye en pasos sucesivos, se multiplican los números de maneras de realizar cada paso. Este principio se usa en situaciones que pueden ocurrir al MISMO TIEMPO.

Ejemplo:

¿Cuántas cadenas de longitud 4 se pueden formar usando las letras ABCDE si no se aceptan repeticiones?

Se elige la primera letra, se elige la segunda letra, se elige la tercera letra y por último la 4ta letra. La primera letra se puede seleccionar de cinco maneras (hay 5 letras en total, por lo cual se puede seleccionar de esas maneras), la segunda letra de cuatro, la tercera de dos, y la última de uno. Nos damos cuenta que cada que avanza una letra, va retrocediendo sus maneras de elegirse, esto se debe a que NO se deben de repetir esos elementos o letras.

Entonces por principio de multiplicación quedaría:

5 x 4 x 3 x 2 = 120 cadenas

Ejemplo de los dos principios:

¿De cuántas maneras se pueden seleccionar dos libros de temas diferentes entre cinco libros de computación distintos, tres libros de matemáticas diferentes y dos libros de arte distintos?

Veamos los datos que tenemos:

5 libros de computación

3 libros de matemáticas

2 libros de arte

Solamente podemos seleccionar 2 libros de temas diferentes, saquemos esos posibles casos:

1er caso: 1 libro de computación y 1 libro de matemáticas

2do caso: 1 libro de computación y 1 libro de arte

3er caso: 1 libro de matemáticas y 1 libro de arte

Sólo tenemos 3 casos, ahora, por los principios saquemos el número de maneras que se pueden seleccionar dos libros de temas diferentes.

Para el primer caso, como hay 5 libros de computación y solamente se puede agarrar un libro de ese tema, entonces quedaría como 5 maneras y como tenemos 3 libros de matemáticas y solamente podemos agarrar 1 libro de ellos, entonces podríamos agarrarlos de 3 maneras distintas; por principio de multiplicación quedaría:

5 x 3 = 15

Para el segundo caso, solamente se puede agarrar 1 libro de computación de los 5 existentes, por lo tanto se puede agarrar de 5 maneras distintas, y como tenemos 2 libros de arte y solamente se puede agarrar uno de ellos entonces estos libros de arte se puede seleccionar de 2 maneras; por principio de la multiplicación quedaría:

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5 x 2 = 10

Para el tercer caso  se puede agarrar 1 libro de matemáticas de los 3 existentes, entonces los podemos agarrar de 3 formas, mientras que los libros de arte al ser 2 y solamente poder agarrar uno entonces se pueden escoger de 2 maneras ; por principio de la multiplicación quedaría:

3 x 2 = 6

Como se quieren saber el número total de maneras que se pueden colocar, entonces ocuparíamos el principio de la suma:

15 + 10 + 6 = 31

 

Solución al problema propuesto de permutación:

Tenemos 4 candidatos que están postulados para el mismo puesto, entonces, cuantas permutaciones se pueden obtener de ese caso?

Samuel puede seleccionarse de 4 formas, Ignacio de 3 formas, Héctor de 2 formas y Vilma de 1 forma (se va disminuyendo el número de formas ya que cuando se ocupó el puesto, el siguiente candidato tiene 1 forma menos probable de ser seleccionado y así sucesivamente…

Entonces por principio de multiplicación se pueden obtener:

4 x 3 x 2 x 1 = 24

 

Permutación tipo r

En este tipo de permutación tendremos 2 datos: el primero es el número total de objetos, el 2do es el número de objetos que tomaremos del conjunto principal. ¿Me explico?

Digamos, yo quiero obtener una permutación que me diga de cuantas formas puedo sacar 2 bolas negras de una bolsa que contiene 20 bolas negras, entonces mi primer dato es 20 (para términos matemáticos lo expresaremos como n) y el segundo dato es 2 (se denota como r) entonces tenemos una permutación P (20,2)

P (n,r) donde n: Número total de objetos, y r: número de los objetos que se tomarán en cuenta

La fórmula para este tipo de permutación sería:

P (n, r) = n!/(n-r)!

El factorial de un número es multiplicarlo por los números que lo preceden, el factorial de 5 sería: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Para resolver este problema sería de la siguiente forma:

P (20,2) = 20! / (20-2)! = 20!/18! = 380

No te preocupes, esta operación lo puedes realizar con la calculadora, el signo ! lo encuentras abajo de la tecla shift y se obtiene primero apretando el shift y después la tecla encerrada con color rojo en el siguiente dibujo.

Con esto hemos terminado este blog, en el siguiente explicaré las combinaciones y daré más ejemplos de permutaciones, así también les explicaré un método sencillo para hacer estas operaciones en la calculadora.

 

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