Ley de cosenos

Learn English Online

Buen día tengan todos ustedes, en entradas anteriores revisábamos métodos para calcular lados y ángulos de un triángulo como es el caso del teorema de Pitágoras y la ley de senos. En esta entrada toca revisar la ley de cosenos para que aprendas de otra manera a como sacar el lado de un triangulo.

La ley de cosenos se puede utilizar en triángulos oblicuos (triángulos no rectángulos) Para más información entrar al siguiente link : http://www.ayudacontustareas.com/triangulos/

APUNTE IMPORTANTE: La ley de cosenos es utilizada cuando se sabe la longitud de los 3 lados del triángulo y quieres sacar un ángulo (LLL) o cuando se conoce las medidas de 2 lados y un ángulo (LAL).

Learn English Online

La ley de cosenos es parecida al teorema de Pitágoras, ya que dicha ley establece que:

c²=a²+b² -2ab Cos C

Para los otros lados del triángulo quedaría así:

b²= a²+c² -2ac Cos B

a² = b² + c² -2bc Cos A

 

Recordatorio:

*Los lados se representan con letras minúsculas.

* Los ángulos se representan con letras mayúsculas.

EJERCICIOS DE EJEMPLO: 

Calcular el lado y ángulos faltantes (LAL) : 

Que datos tenemos?

Lado a = 11 unidades

Lado b = 5 unidades

Angulo C = 20 grados

Para sacar el lado c sustituyamos en la fórmula de c²

c² = (11)²+ (5)² -2 ((11)(5)) Cos (20)

c = √(42.63381171)

c = 6.53

Para encontrar los ángulos podemos utilizar la ley de senos

Para el ángulo B:

b/Sin B = c/Sin C

5/Sin B = 6.53/Sin (20)

5Sin(20) = 6.53SinB

5Sin(20)/6.53 = Sin B

Sin B = 0.261883723

B = Sin ¯¹(0.261883723)

B = 15.18 grados

Para el ángulo A tenemos 2 opciones: 1.- Aplicar la propiedad de la sumatoria de los ángulos de un triángulo
RECORDATORIO: Los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados

2.- Aplicando ley de senos:

Para el caso 1 tenemos que:

A + B +C = 180

A + 15.18 + 20 = 180

A + 35.18 = 180

A = 180 – 35-18

A = 144.82 grados

Para el caso 2 :

a /Sin A = b Sin B

11/Sin A = 5 /Sin (15.18)

11 Sin (15.18) = 5 Sin A

11 Sin (15.18) / 5 = Sin A

Learn English Online

0.576075078 = Sin A

A = Sin ¯¹(0.576075078 )

A = 35.17980013 (Este es el complemento del ángulo resultante por lo que)

A = 180 – 35.17980013

A = 144.82 grados

CASO 2 : L L L  

*Encontrar los 3 ángulos

Datos que tenemos:
Lado a  = 8

Lado b = 19

Lado c = 14

Como pueden observar contamos con 3 lados

Encontremos el ángulo del lado mayor, osea el ángulo B

b² = a²+ c² – 2ac Cos B

Despejamos Cos B

Cos B = b²-a²-c²/ -2ac

Cos B = (19)²-(8)²-(14)²/-2 (8)(14)

Cos B =101/ – 224 = -0.450892857

Como el resultado es negativo sabemos que debemos encontrar el complemento del ángulo: primero calculamos el cos tal y como está, y nos daría:

63.19901682

Ahora calculemos su complemento:

B =  180 – 63.19901682

B = 116.80 grados

Para calcular los otros ángulos podemos ocupar ley de senos:

a / Sin A = b /Sin B

8/Sin A = 19 / Sin (116.8)

8Sin(116.8)/ 19 = Sin A

Sin A = 0.375825607

A = 22.075 grados

Y para encontrar el lado faltante podemos ocupar la propiedad de los ángulos complementarios, aunque YO sugiero que se utilize ley de senos para mayor seguridad:

c/Sin C = a /Sin A

14/ Sin C = 8 /Sin (22.075)

14 Sin(22.075) / 8 = Sin C

Sin C = 0.657684917

C = 41.123 grados

Podemos comprobar que la suma de los ángulos nos dé 180 o un valor aproximado:

A + B + C = 180

22.075 + 116.80 + 41.123 = 180

179.998 = 180

Como ven se aproxima el valor, esto quiere decir que son sus ángulos correspondientes.

Con este artículo terminamos de revisar las formas de encontrar lados y ángulos de los triángulos y finalmente aprendimos ley de senos y cosenos y a como sacar angulos y lados con dichas leyes.

Si quieres revisar el teorema de Pitágoras te dejaré el enlace aquí:  http://www.ayudacontustareas.com/teorema-de-pitagoras/

Si quieres revisar la ley de senos: http://www.ayudacontustareas.com/ley-de-senos/

Dale like a nuestra página de Facebook:

 

Learn English Online